La fonction \( f(x) = rac{x^2 - 4}{x - 2} \) n'est pas définie en \( x = 2 \). Trouver la limite lorsque \( x \) tend vers 2.

["L’Étude de la Fonction ( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} ) en ( x = 2 )", "La fonction ( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} ) est un exemple classique en analyse mathématique pour illustrer l’importance des limites dans l’étude du comportement des fonctions rationnelles. Bien que la fonction ne soit pas définie en ( x = 2 ), il est essentiel de comprendre sa limite lorsque ( x ) tend vers 2 afin de lever cette indéfinition et d’analyser son comportement voisin de ce point.", "### Où la fonction n’est-elle pas définie ?", "La fonction ( f(x) ) comporte un dénominateur qui s’annule lorsque ( x = 2 ), ce qui la rend indéfinie à ce point :\n[\nf(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}\n]\nCette forme indéterminée suggère un possible point de discontinuité, nécessitant une analyse approfondie.", "### Expression simplifiée de la fonction", "Le numérateur ( x^2 - 4 ) est une différence de carrés :\n[\nx^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\n]\nAinsi, pour ( x <br/>\neq 2 ), on peut simplifier la fonction :\n[\nf(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\n]\nCette simplification montre que, bien que ( f(x) ) ne soit pas définie en ( x = 2 ), elle est égale à ( x + 2 ) sur tout voisinage de 2, à l’exception du point ( x = 2 ) lui-même.", "### Calcul de la limite lorsque ( x \ o 2 )", "Puisque ( f(x) = x + 2 ) pour tous les ( x <br/>\neq 2 ), la limite lorsque ( x ) tend vers 2 s’obtient en calculant :\n[\n\lim_{x \ o 2} f(x) = \lim_{x \ o 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\n]\nLa limite existe donc et vaut 4, malgré l’indéfinition en ( x = 2 ).", "### Conclusion : Limite et comportement local", "- La fonction ( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} ) n’est pas définie en ( x = 2 ) à cause d’une division par zéro.\n- Cependant, la limite de ( f(x) ) en ( x = 2 ) existe et vaut 4.\n- Ce résultat illustre un cas fondamental : une fonction peut avoir une limite finie en un point même si elle n’y est pas définie, ce qui est crucial pour l’analyse des fonctions rationnelles et la compréhension des limites.", "Cette étude rappelle que l’étude des limites permet d’analyser le comportement asymptotique des fonctions, même à des points où elles sont discontinues, favorisant ainsi une compréhension complète de leur domaine de définition et de continuité."]