La population \( P(t) \) d'une ville croît selon \( P(t) = P_0 e^{rt} \), où \( P_0 = 5000 \) et \( r = 0.03 \) par an. Quand la population doublera-t-elle ?

["La croissance démographique d’une ville modélisée par une fonction exponentielle", "La population d’une ville croît selon un modèle mathématique simple mais puissant :\n[\nP(t) = P_0 e^{rt}\n]\noù :\n- ( P(t) ) est la population à l’instant ( t ) (en années),\n- ( P_0 ) est la population initiale,\n- ( r ) est le taux de croissance annuel,\n- ( t ) représente le temps en années.", "Dans ce cas concret, la population initially ( P_0 = 5000 ), et le taux de croissance ( r = 0{,}03 ) par an, soit 3 %.", "---", "### Comment fonctionne ce modèle ?", "Grâce à la croissance exponentielle, la population augmente de manière proportionnelle à sa taille actuelle. Cela signifie que plus la population est grande, plus elle croît rapidement. Ce modèle est fréquemment utilisé en démographie, en économie, et en sciences environnementales pour anticiper l’évolution des populations urbaines.", "---", "### Combien de temps pour doubler ?", "Un enjeu majeur est de savoir quand la population doublera. Pour ce calcul, on cherche l’instant ( t ) tel que :\n[\nP(t) = 2P_0\n]\nEn remplaçant dans l’équation :\n[\n2P_0 = P_0 e^{rt}\n]\nOn simplifie par ( P_0 ) (qui est positif) :\n[\n2 = e^{rt}\n]\nAppliquons le logarithme népérien des deux côtés :\n[\n\ln(2) = rt\n]\nDonc :\n[\nt = \frac{\ln(2)}{r}\n]\nAvec ( r = 0{,}03 ), on a :\n[\nt = \frac{\ln(2)}{0{,}03} \approx \frac{0{,}693}{0{,}03} \approx 23{,}1 \ ext{ ans}\n]", "---", "### Conclusion", "La population de la ville doublera en environ 23 ans, soit vers l’an 2046 si le taux de croissance reste constant. Ce modèle permet aux urbanistes et décideurs de mieux planifier les infrastructures (logement, transport, services publics), tout en tenant compte de la dynamique naturelle de la croissance urbaine. Comprendre cette évolution exponentielle est essentiel pour une gestion durable des villes."]