La somme des \( n \) premiers termes d'une suite arithmétique est \( S_n = 3n^2 + 5n \). Trouver le 10e terme.
["Titre : Trouver le 10e terme d’une suite arithmétique dont la somme des ( n ) premiers termes est ( S_n = 3n^2 + 5n )", "La suite arithmétique est un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour comprendre les progressions régulières et modéliser de nombreux phénomènes. Aujourd’hui, nous étudions une suite dont la somme des ( n ) premiers termes est donnée par la formule ( S_n = 3n^2 + 5n ). Grâce à cette expression, il est possible de déterminer directement le 10e terme de la suite, sans avoir à manipuler des formules complexes.", "---", "### Rappel : lien entre la somme des termes et le terme général", "Soit ( a_n ) le ( n )e terme de la suite arithmétique. Le lien entre la somme des ( n ) premiers termes ( S_n ) et le terme général est donné par la formule simple :\n[\na_n = S_n - S_{n-1}\n]\npour ( n \geq 2 ).", "Cette relation permet de calculer le ( n )ième terme en soustrayant la somme précédente à la somme courante.", "---", "### Étape 1 : Calcul de ( S_{10} )", "La somme des 10 premiers termes est :\n[\nS_{10} = 3(10)^2 + 5(10) = 3 \ imes 100 + 50 = 300 + 50 = 350\n]", "---", "### Étape 2 : Calcul de ( S_9 )", "La somme des 9 premiers termes est :\n[\nS_9 = 3(9)^2 + 5(9) = 3 \ imes 81 + 45 = 243 + 45 = 288\n]", "---", "### Étape 3 : Détermination du 10e terme ( a_{10} )", "En utilisant la relation ( a_{10} = S_{10} - S_9 ), nous substituons les valeurs trouvées :\n[\na_{10} = 350 - 288 = 62\n]", "---", "### Conclusion", "Le 10e terme de la suite arithmétique dont la somme des ( n ) premiers termes est ( S_n = 3n^2 + 5n ) est 62. Ce calcul illustre la simplicité et l’efficacité de la formule de la somme pour retracer les termes d’une suite sans connaître explicitement son premier terme ou sa raison.", "Pour toute suite définie par une expression quadratique de ( S_n ), le terme général peut toujours être calculé directement via ( a_n = S_n - S_{n-1} ), ce qui est une excellente technique en analyse de suites arithmétiques.", "---", "Mots-clés : somme des termes, suite arithmétique, formule ( S_n ), calcul du terme général, ( a_{10} ), ( 3n^2 + 5n ), progression arithmétique, résolution mathématique."]
