Le bénéfice \( P(x) \) d'une entreprise de fabrication de \( x \) unités est modélisé par \( P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 \). Trouver le nombre d'unités qui maximise le bénéfice et le bénéfice maximal.

["Titre : Maximiser le bénéfice d’une entreprise de fabrication avec la fonction ( P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 )", "---", "Introduction", "Dans le domaine de la fabrication, optimiser le bénéfice est essentiel pour assurer une croissance durable et compétitive. Pour une entreprise produisant ( x ) unités, le bénéfice est modélisé par la fonction quadratique :\n[ P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 ]\nCette fonction concave (concave vers le bas) indique qu’un bénéfice maximal existe à un certain nombre d’unités produites. Dans cet article, nous analysons cette fonction, déterminons le nombre d’unités qui maximise le bénéfice et calculons ce bénéfice maximal.", "---", "Analyse mathématique de la fonction bénéfice", "La fonction ( P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 ) est une fonction quadratique de la forme ( ax^2 + bx + c ), avec :\n- ( a = -2 ) (coefficient négatif → parabole ouverte vers le bas)\n- ( b = 120 )\n- ( c = -1000 )", "---", "1. Localisation du sommet (maximum)", "Le sommet d’une parabole donne le point d’extremum. Pour la fonction quadratique, la valeur de ( x ) qui maximise (ou minimise) la fonction est :\n[ x_{\ ext{opt}} = -\frac{b}{2a} ]", "En remplaçant ( a ) et ( b ) :\n[\nx_{\ ext{opt}} = -\frac{120}{2 \ imes (-2)} = -\frac{120}{-4} = 30\n]\n→ Le bénéfice est maximal lorsque ( x = 30 ) unités sont produites.", "---", "2. Calcul du bénéfice maximal", "Pour trouver le bénéfice maximal, on évalue ( P(x) ) en ( x = 30 ) :\n[\nP(30) = -2(30)^2 + 120(30) - 1000\n]\nCalcul pas à pas :\n- ( -2 \ imes 900 = -1800 )\n- ( 120 \ imes 30 = 3600 )\n- Donc : ( P(30) = -1800 + 3600 - 1000 = 800 )", "→ Le bénéfice maximal est de ( 800 ) euros (ou unité monétaire).", "---", "Conclusion", "La fonction bénéfice ( P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 ) atteint son maximum lorsque l’entreprise produit 30 unités par jour. À ce niveau de production, le bénéfice maximal atteint 800 unités de bénéfice, offrant ainsi une\langle\nmanufacturer maximale une base solide pour optimiser sa stratégie industrielle.", "---", "Mots-clés : bénéfice maximal, optimisation production, fonction de bénéfice, ( P(x) = -2x^2 + 120x - 1000 ), production optimale,maximum bénéfice, économie, gestion industrielle", "Pour aller plus loin :\nPour d’autres niveaux de production, calculez ( P(30) ) pour vérifier le bénéfice, ou étudiez l’impact des variations sur la rentabilité. Utilisez ces données pour ajuster les coûts, tarifs ou volumes."]