Une voiture voyage de la ville A à la ville B, une distance de 300 km, à une vitesse moyenne de \( v \) km/h. Au voyage de retour, la vitesse est de \( v + 20 \) km/h en raison d'une circulation réduite. Si le temps de trajet total est de 7 heures, trouver \( v \).

["Titre : Calcul de la vitesse moyenne sur un trajet aller-retour entre deux villes à 300 km", "Voyager de la ville A à la ville B et revenir représente un trajet courant en France pour les déplacements quotidiens. Supposons que la distance aller est de 300 km, réalisée à une vitesse moyenne de ( v ) km/h. Sur le trajet retour, grâce à une circulation plus légère, la vitesse moyenne augmente à ( v + 20 ) km/h. Si le temps total de déplacement aller-retour est de 7 heures, comment déterminer la vitesse ( v ) ?", "---", "### Un problème de temps de trajet à deux vitesses", "Le temps nécessaire pour parcourir une distance est donné par la relation :\n[\n\ ext{temps} = \frac{\ ext{distance}}{\ ext{vitesse}}\n]", "- Aller de A à B :\ntemps = ( \frac{300}{v} ) heures\n- Retour de B à A :\ntemps = ( \frac{300}{v + 20} ) heures", "La somme des deux durées correspond au temps total, soit 7 heures :", "[\n\frac{300}{v} + \frac{300}{v + 20} = 7\n]", "---", "### Résolution de l’équation", "Pour résoudre cette équation, éliminons les dénominateurs en multipliant chaque terme par ( v(v + 20) ) :", "[\n300(v + 20) + 300v = 7v(v + 20)\n]", "Développons chaque membre :", "À gauche :\n[\n300v + 6000 + 300v = 600v + 6000\n]", "À droite :\n[\n7v^2 + 140v\n]", "L’équation devient :\n[\n600v + 6000 = 7v^2 + 140v\n]", "Attendons tout du même côté pour former une équation du second degré :", "[\n0 = 7v^2 + 140v - 600v - 6000\n]\n[\n7v^2 - 460v - 6000 = 0\n]", "---", "### Simplification et résolution", "On obtient une équation quadratique standard :\n[\n7v^2 - 460v - 6000 = 0\n]", "Nous utilisons la formule du discriminant ( \Delta = b^2 - 4ac ) :\n[\n\Delta = (-460)^2 - 4 \ imes 7 \ imes (-6000) = 211600 + 168000 = 379600\n]", "Calculons la racine carrée :\n[\n\sqrt{379600} = 616\n]\n(car ( 616^2 = 616 \ imes 616 = 379456 ) → proche, mais calcul exact donne ( \sqrt{379600} \approx 616.000 ), en vérifiant précisément, on trouve ( 616 ) exact si 379600 = 616², mais correction : calcul ( 616^2 = 379456 ), donc il faut un calcul exact ou factoriser.)", "Revenons et résolvons via la formule :\n[\nv = \frac{460 \pm \sqrt{460^2 + 4 \ imes 7 \ imes 6000}}{2 \ imes 7}\n]\n[\nv = \frac{460 \pm \sqrt{211600 + 168000}}{14} = \frac{460 \pm \sqrt{379600}}{14}\n]", "On sait que :\n[\n Roberto = \frac{460 + 616}{14} = \frac{1076}{14} \approx 76,86 \quad (\ ext{vitesse positive})\n]\net\n[\n \frac{460 - 616}{14} = \ ext{négatif, non físiquement valable}\n]", "Vérifions plus précisément ( \sqrt{379600} ) :\n[\n616^2 = (600 + 16)^2 = 360000 + 2\ imes600\ imes16 + 256 = 360000 + 19200 + 256 = 379456\n]\n[\n617^2 = (616 + 1)^2 = 379456 + 2\ imes616 + 1 = 379456 + 1232 + 1 = 380689 > 379600\n]", "Donc ( \sqrt{379600} \approx 616,04 ), mais pour résoudre exactement, on garde la racine irrationnelle ou fait une approximation.", "Cependant, tentons une factorisation ou simplification numérique : une meilleure méthode est de diviser l’équation par 7 :", "[\nv^2 - \frac{460}{7}v - \frac{6000}{7} = 0 \approx v^2 - 65,71v - 857,14 = 0\n]", "Mais revenons à :", "[\n7v^2 - 460v - 6000 = 0\n]", "Utilisons la calculatrice pour précision :\n[\nv = \frac{460 + \sqrt{379600}}{14} \approx \frac{460 + 616.009}{14} = \frac{1076.009}{14} \approx 76,86\n]", "Vérifions avec ( v \approx 76,86 ) km/h :", "- Aller temps : ( 300 / 76,86 \approx 3,90 ) h\n- Retour : ( v+20 = 96,86 ), temps ( \approx 300 / 96,86 \approx 3,10 ) h\n- Total : ( 3,90 + 3,10 = 7,00 ) h ✅", "---", "### Résultat final", "La vitesse moyenne sur le trajet aller est d’environ 76,86 km/h. Pour une présentation précise, on peut exprimer la solution exacte sous forme radicale :", "[\nv = \frac{460 + \sqrt{379600}}{14} \approx 76,86 \ ext{ km/h}\n]", "Mais en notation propre et claire, la solution exacte de l’équation ( 7v^2 - 460v - 6000 = 0 ) est :", "[\n\boxed{v = \frac{230 + \sqrt{949000}}{7}} \quad \ ext{(forme simplifiée via factorisation)}\n]", "Cependant, la valeur numérique raffinée est ( v \approx 76,86 ) km/h, ce qui confirme la solution.", "---", "### Conclusion", "Un trajet aller-retour de 300 km à des vitesses différentes en fonction du trafic—plus rapide sur le retour avec +20 km/h—permettant un temps total de 7 heures, conduit à une vitesse moyenne de 76,86 km/h approximativement. Résoudre l’équation quadratique liée aux temps permet de déduire cette vitesse avec précision, adaptée à la dynamique routière réelle.", "Mots-clés : voyage entre deux villes, temps de trajet, vitesse moyenne, aller-retour 300 km, équation vitesse temps, calcul mathematique trajet, programme de déplacement, France déplacement urbain."]