Une balle est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale \( v_0 = 20 \) m/s. Sa hauteur \( h(t) \) après \( t \) secondes est \( h(t) = 20t - 5t^2 \). Trouver le temps pour atteindre la hauteur maximale et la hauteur maximale.
["Article SEO : Calcul de la hauteur maximale d’un projectile lancé verticalement", "Lorsqu’une balle est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale, son mouvement est régi par les lois de la physique newtonienne. Dans ce cas, la trajectoire suit une loi parabolique, et il est possible de déterminer précisément le moment où la balle atteint sa hauteur maximale ainsi que cette hauteur optimale.", "---", "### Scénario : Lancement vertical d’une balle", "Un projectile est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale ( v_0 = 20 ) m/s. La fonction décrivant sa hauteur ( h(t) ) en fonction du temps ( t ) (en secondes) est donnée par :\n[\nh(t) = 20t - 5t^2\n]\nCette équation provient de la modélisation du mouvement sous l’effet de la gravité (accélération ( -9.8 , m/s^2 )), mais ici simplifiée sous l’hypothèse d’une accélération constante égale à ( -10 ) m/s² pour faciliter les calculs dans le cadre scolaire.", "---", "### Moment où la hauteur maximale est atteinte", "La fonction hauteur ( h(t) = -5t^2 + 20t ) est une parabole ouverte vers le bas, ce qui signifie qu’elle atteint un maximum à son sommet. Pour une fonction quadratique de la forme ( h(t) = at^2 + v_0 t ), le temps ( t_{\ ext{max}} ) atteint à la hauteur maximale est donné par la formule :\n[\nt_{\ ext{max}} = \frac{-v_0}{2a}\n]\nIci, ( a = -5 ) et ( v_0 = 20 ). En substituant :\n[\nt_{\ ext{max}} = \frac{-20}{2 \ imes (-5)} = \frac{-20}{-10} = 2 , \ ext{secondes}\n]", "Conclusion : La balle atteint sa hauteur maximale à ( t = 2 ) secondes.", "---", "### Hauteur maximale atteinte", "Pour trouver la hauteur maximale, il suffit d’appliquer ( t_{\ ext{max}} = 2 ) dans l’équation de la hauteur :\n[\nh_{\ ext{max}} = h(2) = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20 , \ ext{mètres}\n]", "---", "### Synthèse des résultats", "| Donnée | Valeur |\n|--------------------------------|-------------|\n| Vitesse initiale ( v_0 ) | ( 20 , \ ext{m/s} ) |\n| Équation de la hauteur ( h(t) ) | ( h(t) = 20t - 5t^2 ) |\n| Temps pour atteindre la hauteur maximale | ( 2 , \ ext{s} ) |\n| Hauteur maximale | ( 20 , \ ext{m} ) |", "---", "### Pourquoi ce modèle est utile ?", "Ce type de modèle est largement utilisé en physique, en sport, ou en ingénierie pour prédire le comportement d’objets lancés ou tombant sous gravité. Il permet de calculer précisément la trajectoire, essentiel notamment dans les analyses de sécurité, les lancements sportifs (comme le saut à la perche) ou les simulations physiques.", "---", "### En résumé", "- En lançant une balle verticalement vers le haut avec ( v_0 = 20 , m/s ), sa hauteur est modélisée par ( h(t) = 20t - 5t^2 ).\n- Le temps pour atteindre la hauteur maximale est ( t_{\ ext{max}} = 2 ) secondes.\n- La hauteur maximale atteinte est ( h_{\ ext{max}} = 20 ) mètres.", "---", "Pour visualiser ce mouvement, des logiciels de modélisation physique ou des expérimentations en laboratoire confirment parfaitement ces résultats au travers d’une courbe en arc de parabole."]
