Le sommet de la parabole \( h(t) = -5t^2 + 20t \) est à \( t = -rac{b}{2a} = rac{20}{10} = 2 \) secondes.

["Titre : Déterminer le Sommet de la Parabole : Cas de ( h(t) = -5t^2 + 20t )", "Lorsqu’on modélise un mouvement parabolique, comme la hauteur ( h(t) ) d’un objet en fonction du temps, il est essentiel de identifier le sommet de la parabole. Cette étape permet de connaître le maximum (ou minimum) de la fonction, selon le sens d’ouverture de la courbe. Prenons l’exemple classique :\n[ h(t) = -5t^2 + 20t ]", "### Pourquoi le sommet est-il important ?", "Le sommet de la parabole représente le moment précis où l’objet atteint sa hauteur maximale. Dans le cas d’un lancer ou d’un projectile (en négligeant la résistance de l’air), ce temps correspond à l’apogée, moment clé pour l’analyse du mouvement.", "---", "### Identifier les coefficients\nLa fonction ( h(t) = -5t^2 + 20t ) est une fonction quadratique de la forme ( h(t) = at^2 + bt + c ).\nIci, les coefficients sont :\n- ( a = -5 )\n- ( b = 20 )\n- ( c = 0 )", "Ces valeurs déterminent la forme et la position de la parabole. Le coefficient ( a < 0 ) indique que la parabole est tournée vers le bas, ce qui signifie qu’elle admet un maximum.", "---", "### Calculer le temps au sommet : ( t = -\frac{b}{2a} )", "La formule générale pour trouver l’abscisse du sommet d’une parabole est :\n[ t_{\ ext{sommet}} = -\frac{b}{2a} ]", "En substituant les valeurs :\n[ t_{\ ext{sommet}} = -\frac{20}{2 \ imes (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 ]", "Ainsi, le sommet apparaît à ( t = 2 ) secondes.", "---", "### Quelle hauteur atteint l’objet à ( t = 2 ) ?", "Pour trouver la hauteur maximale, on remplace ( t = 2 ) dans l’équation :\n[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5 \ imes 4 + 40 = -20 + 40 = 20 \ ext{ mètres} ]", "Le sommet est donc le point ( (2; 20) ), hauteur maximale de 20 unités.", "---", "### Conclusion", "Le sommet de la parabole ( h(t) = -5t^2 + 20t ) se situe au temps ( t = 2 ) seconde, ce qui est calculé par la formule ( t = -\frac{b}{2a} ). Ce calcul est fondamental en mathématiques appliquées, notamment pour l’étude des trajectoires paraboliques en physique. Identifier ce moment permet de déterminer précisément l’apogée d’un mouvement, élément clé pour toute analyse dynamique.", "---", "Mots-clés : équation quadratique, sommet parabole, ( t = -\frac{b}{2a} ), fonction ( h(t) ), mouvement parabolique, analyse physique, mathématiques appliquées."]