Une boîte rectangulaire a un volume de 1200 cm³. Sa longueur est le double de sa largeur, et sa hauteur est inférieure de 5 cm à sa largeur. Trouver les dimensions.

["Une boîte rectangulaire de volume 1200 cm³ : trouver ses dimensions", "Vous vous demandez comment calculer les dimensions d’une boîte rectangulaire dont on connaît le volume, la longueur, la largeur et la hauteur en fonction les unes des autres ? Dans cet article, nous allons résoudre une énigme simple mais instructive : une boîte rectangulaire d’un volume de 1 200 cm³, dont la longueur est le double de sa largeur et la hauteur inférieure de 5 cm à sa largeur. Découvrez pas à pas comment déterminer ses dimensions exactes grâce à un raisonnement mathématique clair et structuré.", "---", "### Énoncé du problème", "Soit :\n- Volume ( V = 1200 , \ ext{cm}^3 )\n- Longueur ( l = 2w )\n- Largeur ( w )\n- Hauteur ( h = w - 5 )", "L’objectif est de trouver les valeurs de la largeur ( w ), suivies de la longueur et de la hauteur.", "---", "### Modélisation mathématique", "Le volume d’un rectangular est donné par la formule :\n[\nV = l \ imes w \ imes h\n]", "En remplaçant les variables par leurs expressions selon le problème, on obtient :\n[\n1200 = (2w) \ imes w \ imes (w - 5)\n]", "Simplifions l’équation :\n[\n1200 = 2w^2 (w - 5)\n]\n[\n1200 = 2w^3 - 10w^2\n]", "Divisons toute l’équation par 2 pour simplifier :\n[\n600 = w^3 - 5w^2\n]", "Puis réorganisons sous forme canonique :\n[\nw^3 - 5w^2 - 600 = 0\n]", "---", "### Résolution de l’équation du cube", "Nous devons résoudre l’équation cubique :\n[\nw^3 - 5w^2 - 600 = 0\n]", "Pour trouver la solution entière probablement, testons quelques valeurs entières proches de la racine, sachant que la largeur ( w ) doit être supérieure à 5 cm (car ( h = w - 5 > 0 )).", "#### Essayons ( w = 10 ) :\n[\n10^3 - 5(10)^2 - 600 = 1000 - 500 - 600 = -100 \quad \ ext{(pas zéro)}\n]", "#### Essayons ( w = 12 ) :\n[\n12^3 - 5(12)^2 - 600 = 1728 - 720 - 600 = 408 \quad \ ext{(trop grand)}\n]", "#### Essayons ( w = 11 ) :\n[\n11^3 - 5(11)^2 - 600 = 1331 - 605 - 600 = 126 \quad \ ext{(toujours pas zéro)}\n]", "#### Essayons ( w = 10,5 ) (valeur intermédiaire) :\n[\n(10.5)^3 = 1157.625 \quad \ ext{et} \quad 5 \ imes (10.5)^2 = 5 \ imes 110.25 = 551.25\n]\n[\n1157.625 - 551.25 - 600 = 6.375 \quad \ ext{proche de zéro}\n]", "#### Essayons ( w = 10,4 ) :\n[\nw^2 = 108.16 \Rightarrow w^3 \approx 10,401.28, \quad 5w^2 = 541.8\n]\n[\n12041.28 - 541.8 - 600 = 4899.48 \quad \ ext{(non, erreur d’approximation)}\n]", "On remarque que la solution exacte est proche de 10,5. En réalité, en cherchant une racine rationnelle, le théorème de la racine rationnelle suggère d’essayer les diviseurs de 600.", "Elle cible facilement ( w = 10,5 = \frac{21}{2} ), mais testons précisément une racine réelle facile :", "essayons ( w = 12 ) à 11 → conclusion :\nau lieu d’une recherche longue, utilisons la formule correcte et résolvons numériquement ou simplifions.", "Une méthode efficace : recalculer avec précision.", "Reprenons :\n[\nw^3 - 5w^2 = 600\n]", "Essayons ( w = 10,8 ) :\n[\n(10,8)^3 = 1259.712, \quad 5 \ imes (10,8)^2 = 5 \ imes 116.64 = 583.2\n]\n[\n1259.712 - 583.2 = 676.512 \quad \ ext{trop fort}\n]", "Essayons ( w = 10,2 ) :\n[\n10,2^3 = 1061.208, \quad 5 \ imes (10,2)^2 = 5 \ imes 104.04 = 520.2\n]\n[\n1061.208 - 520.2 = 541 \quad \ ext{trop bas}\n]", "Par interpolation ou calcul avancé, la vraie solution est ( w = 10,8 ) approximée — mais modèle standard utilise une racine exacte simple.", "But : corriger l’équation pour une résolution facile.", "Vérifions si ( w = 10 ) fonctionne exactement :\n[\nl = 20, h = 5 \quad \Rightarrow V = 20 \ imes 10 \ imes 5 = 1000 <br/>\neq 1200 \quad \ ext{non}\n]", "Essayons ( w = 12 ) encore :\n( l = 24, h = 7 \Rightarrow V = 24 \ imes 12 \ imes 7 = 2016 ) trop grand.", "Essayons ( w = 10 ) : ( V = 20 \ imes 10 \ imes 5 = 1000 )", "Essayons ( w = 10,5 ) :\n( l = 21, h = 5,5 \Rightarrow V = 21 \ imes 10,5 \ imes 5,5 )\n( 21 \ imes 10,5 = 220,5 ), puis ( 220,5 \ imes 5,5 = 1212,75 ) → très proche de 1200", "Essayons ( w = 10,4 ) :\n( l = 20,8 ), ( h = 5,4 )\n( 20,8 \ imes 10,4 = 216,32 )\n( 216,32 \ imes 5,4 = 1169,568 ) → plus bas", "Donc solution entre 10,4 et 10,5", "---", "### Résultat précis via substitution méthodique", "Reprenons l’équation :\n[\n2w^3 - 10w^2 = 1200 \Rightarrow 2w^2(w - 5) = 1200 \Rightarrow w^2(w - 5) = 600\n]", "Essayons ( w = 10 ) : ( 100 \ imes 5 = 500 )\n( w = 10,5 ) : ( (10,5)^2 = 110,25 ), ( w - 5 = 5,5 ), produit = ( 110,25 \ imes 5,5 = 606,375 )\n( w = 10,4 ) : ( 108,16 \ imes 5,4 = 585,264 )\n( w = 10,45 ) : ( 10,45^2 = 109,2025 ), ( w-5 = 5,45 ), produit ≈ ( 109,2025 \ imes 5,45 \approx 594,4 )", "Interpolons entre ( w = 10,45 ) (594,4) et ( w = 10,5 ) (606,375), on cherche ( V = 600 )", "La différence : ( 600 - 594,4 = 5,6 ), total écart 11,975, donc ( \frac{5,6}{11,975} \approx 0,47 )\nDonc ( w \approx 10,45 + 0,05 \ imes 0,47 \approx 10,47 )", "Précision suffisante pour le contexte :\nLargeur ( w \approx 10,47 ) cm\nLongueur ( l = 2w \approx 20,94 ) cm\nHauteur ( h = w - 5 \approx 5,47 ) cm", "---", "### Vérification finale", "[\nV = 20,94 \ imes 10,47 \ imes 5,47\n]", "Calcul approximatif :\n( 20,94 \ imes 10,47 \approx 219,4 )\n( 219,4 \ imes 5,47 \approx 1200 \quad \ ext{✓}\n]", "---", "### Conclusion", "La boîte rectangulaire de volume 1200 cm³, où la longueur est le double de la largeur et la hauteur inférieure de 5 cm à cette largeur, a les dimensions suivantes :\n- Largeur : environ 10,47 cm\n- Longueur : environ 20,94 cm\n- Hauteur : environ 5,47 cm", "Ce type d’exercice illustre comment les relations mathématiques simples peuvent modéliser des situations concrètes, comme la conception d’emballages, optimisant à la fois espace et coûts de production.", "Pour une précision encore plus grande, une calculatrice ou méthode numérique (Newton-Raphson) permettrait d’obtenir une valeur exacte, mais 10,47 cm est une valeur pratique et exacte à deux décimales près.", "---", "Mots-clés principaux : boîte rectangulaire, volume 1200 cm³, longueur double largeur, hauteur inférieure à largeur 5 cm, calcul dimensions géométrie, équation volume boîte, résolution équation cubique physique.", "---", "Pour tout projet de conception ou fabrication impliquant des proportions, ce type de raisonnement permet de fixer rapidement les dimensions avec précision."]