Une entreprise produit des widgets qui circulent sur un marché avec une courbe de demande donnée par \( D(p) = 100 - 2p \), où \( p \) est le prix par widget. Le coût de production pour \( x \) widgets est donné par \( C(x) = 50x + 200 \). Si l'entreprise souhaite maximiser son profit, quel prix \( p \) devrait-elle facturer par widget ?
["Titre : Comment fixer le prix optimal d’un widget pour maximiser le profit avec une courbe de demande linéaire", "Dans le monde de l’économie et de la gestion, maximiser le profit d’une entreprise prodottofficement sur un marché est un objectif central. Ce cas pratique examine une entreprise qui produit et vend des widgets, avec une demande modélisée par la fonction ( D(p) = 100 - 2p ), où ( p ) est le prix par unité. Le coût de production pour ( x ) widgets est donné par ( C(x) = 50x + 200 ), avec ( x = D(p) ), le nombre de widgets vendus à ce prix.", "Ce texte explique étape par étape comment calculer le prix ( p ) qui permet de maximiser le profit.", "---", "### 1. Comprendre les bases : demande, recette et coût", "Le profit se calcule comme la recette totale moins le coût total :\n[\n\ ext{Profit} = \ ext{Recette} - \ ext{Coût}\n]", "Avec :\n- ( \ ext{Recette}(p) = p \ imes D(p) = p(100 - 2p) = 100p - 2p^2 )\n- ( \ ext{Coût}(x) = 50x + 200 )\n- ( x = D(p) = 100 - 2p ), donc substituons ( x ) dans le coût.", "---", "### 2. Expression complète du profit", "Posons ( \Pi(p) ) le profit en fonction du prix ( p ) :\n[\n\Pi(p) = (100p - 2p^2) - \left(50(100 - 2p) + 200\right)\n]", "Calculons d’abord le coût :\n[\nC(p) = 50(100 - 2p) + 200 = 5000 - 100p + 200 = 5200 - 100p\n]", "Puis remettons tout dans l’expression du profit :\n[\n\Pi(p) = (100p - 2p^2) - (5200 - 100p) = 100p - 2p^2 - 5200 + 100p\n]", "Simplifions :\n[\n\Pi(p) = -2p^2 + 200p - 5200\n]", "---", "### 3. Maximiser le profit par dérivation", "Pour trouver le prix ( p ) qui maximise le profit, on dérive ( \Pi(p) ) par rapport à ( p ), puis on égale la dérivée à zéro :\n[\n\Pi'(p) = \frac{d}{dp}(-2p^2 + 200p - 5200) = -4p + 200\n]", "On résout :\n[\n-4p + 200 = 0 \implies 4p = 200 \implies p = 50\n]", "---", "### 4. Vérification : c’est bien un maximum", "La dérivée seconde est ( \Pi''(p) = -4 ), qui est négative, donc le point critique correspond bien à un maximum.", "---", "### 5. Conclusion", "Pour maximiser son profit, l’entreprise devrait fixer le prix de vente à ( p = 50 ) euros par widget. Ce prix équilibre最適地 la demande du marché, la recette générée, et le coût de production.", "---", "Résumé des points clés :\n- La courbe de demande ( D(p) = 100 - 2p ) montre une relation linéaire décroissante entre prix et quantité vendue.\n- Le coût croît linéairement avec la production, avec un coût fixe de 200 et un coût variable de 50 par widget.\n- Le profit est maximisé en résolvant ( \Pi'(p) = -4p + 200 ), ce qui donne ( p = 50 ).\n- Cette stratégie optimise à la fois la rentabilité et la part de marché.", "---", "Mots-clés SEO :\nprofit maximisation, prix optimal widget, demande courbe linéaire, fonction demande ( D(p) ), coût variable fixe, gestion de la production, économie appliquée, optimisation prix, entreprise profitable.", "---", "En appliquant ces concepts, toute entreprise peut déterminer le prix idéal pour maximiser son profit — utile aussi bien dans la théorie économique que dans la pratique du commerce."]
